高锰酸钾制备氧气的极限

As we all know,

$$2KMnO_4 = K_2MnO_4 + MnO_2 + O_2\uparrow$$

But we hardly know,

$$3K_2MnO_4 + 2H_2O = 2KMnO_4 + MnO_2\downarrow + 4KOH$$

于是我们就可以提出一个有趣的问题：有 $1\text{ mol } KMnO_4$ 并且有充足 $H_2O$，最多可制取多少 $\text{mol } O_2$？

第一轮加热，$1\text{ mol }$ 高锰酸钾分解生成 $\frac{1}{2}\text{ mol }$ 锰酸钾和 $\frac{1}{2}\text{ mol }$ 氧气；

接着将这 $\frac{1}{2}\text{ mol }$ 锰酸钾溶于水发生歧化反应，生成 $\frac{1}{3}\text{ mol }$ 高锰酸钾；

将这 $\frac{1}{3}\text{ mol }$ 高锰酸钾提取后再次加热，又会生成 $\frac{1}{6}\text{ mol }$ 锰酸钾和 $\frac{1}{6}\text{ mol }$ 氧气……

以此类推，每一次循环生成的高锰酸钾和氧气量，均为上一次的 $\frac{1}{3}$。

这样就有了一个无穷等比数列求和：

$$\text{Total } O_2 = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n}\right)$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 – (1/3)^n}{1 – 1/3} = \frac{3}{4}\text{ mol}$$

与仅仅加热一次相比，产量提高了 50%！

其实用化学方法更简单一些：

所有的锰元素最终都会转化为不溶于水的 $MnO_2$ 沉淀。

$1\text{ mol }$ 高锰酸钾中，$\text{Mn}$ 元素从 $+7$ 价降至 $+4$ 价，共得到 $3\text{ mol}$ 电子。

化合价升高的只有氧元素（生成 $O_2$）。每生成 $1\text{ mol } O_2$ 需要失去 $4\text{ mol}$ 电子。

故极限产气量直接为：

$$3 \div 4 = \frac{3}{4}\text{ mol}$$

查阅资料得知，其实无需这么繁琐的操作

直接对第一步生成的锰酸钾进行高温加热，也会有一样的制氧量：

$$2K_2MnO_4 = 2K_2O + 2MnO_2 + O_2\uparrow$$

$1\text{ mol } KMnO_4$ 首轮加热生成的 $0.5\text{ mol } K_2MnO_4$ 进一步高温分解，恰好放出 $0.25\text{ mol } O_2$。

两次释放的总量依然是 $0.5 + 0.25 = \frac{3}{4}\text{ mol}$，殊途同归。

回归到水溶液循环制备的思路上，实际操作中有一些注意事项：

1. 反应要在酸性或中性条件下发生，所以要中和 $KOH$，这很好解决，加酸（似乎不能加 $HCl$）或 $Fe^{3+}$、$Mg^{2+}$ 等
2. 第一步反应结束后，我们有 $K_2MnO_4$ 溶液，为制备氧气，我们有以下几种可能方案：
   • ① 直接在烧杯中加热，但水分蒸干后四处飞溅，烧杯会炸裂。
   • ② 在蒸发皿中加热，但这会导致部分高锰酸钾提前分解无法收集。
   • ③ 降温结晶，但总有残余的 $KMnO_4$ 会在溶液中。
3. 所以，似乎并没有什么方便实操的办法