万能k法及其原理

基础的原理： 求关于 $x$ 的分式最值时，利用“令原式为 $k$”，将其转化为关于 $x$ 的方程。利用该方程有实数根的条件（即判别式 $\Delta \ge 0$），求得 $k$ 的取值范围。

例 1： 求 $f(x) = \frac{2x^2+x+1}{x^2+1}$ 的值域

【推导过程】：

令 $\frac{2x^2+x+1}{x^2+1} = k$，两边同乘 $x^2+1$ 并移项整理得：

$$2x^2+x+1 = kx^2+k$$

$$(k-2)x^2 – x + (k-1) = 0$$

① 当 $k=2$ 时，方程化为 $-x+1=0$，解得 $x=1$，方程有解。 ② 当 $k \neq 2$ 时，要求该一元二次方程有实数根，必须满足判别式 $\Delta \ge 0$：

$$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 – 4(k-1)(k-2) \ge 0 \\ 1 – 4(k^2 – 3k + 2) &\ge 0 \\ -4k^2 + 12k – 7 &\ge 0 \end{aligned}$$

解得：

$$\frac{3-\sqrt{2}}{2} \le k \le \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

检验 $k=2$ 在此范围内（一般不检也不会错）。 因此，该函数的值域即为 $\left[ \frac{3-\sqrt{2}}{2}, \frac{3+\sqrt{2}}{2} \right]$。

对于二元有限制条件的题（可以消元为一元的），只需令所求式为 $k$ 即可。

例 2： 已知 $2x^2 + xy + 3y^2 = 4$，求 $x+2y$ 的取值范围

【推导过程】：

令 $x+2y = k$，则可得 $x = k-2y$，代入原限制方程得：

$$2(k-2y)^2 + (k-2y)y + 3y^2 = 4$$

将其展开并整理为关于 $y$ 的一元二次方程，接下来同理利用 $\Delta \ge 0$ 求解即可。

我们都知道，对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，有解的充要条件是 $\Delta=b^2-4ac \ge 0$。这里只有 $x$ 一个未知数。若方程为二元，应如何处理？

对于齐次方程 $ax^2+bxy+cy^2=0 \quad (a,b,c \neq 0)$： 这里每一项都是二次的，其判别式仍为 $\Delta = b^2 – 4ac$。

【证明】：

将方程两边同除以 $y^2$，化为：

$$a\left(\frac{x}{y}\right)^2 + b\left(\frac{x}{y}\right) + c = 0$$

把 $\frac{x}{y}$ 视为一个整体未知数，即可直接使用判别式。（注：严谨起见，最好验证一下 $x$ 或 $y$ 为 $0$ 时等式能否成立）。

例 3： 求 $f(x,y) = \frac{x^2+3xy-y^2}{2x^2-xy+y^2}$ 的值域

【推导过程】：

令 $\frac{x^2+3xy-y^2}{2x^2-xy+y^2} = k$，展开并整理得：

$$x^2+3xy-y^2 = 2kx^2-kxy+ky^2$$

合并同类项，将其看作关于 $x$ 的二次方程：

$$(2k-1)x^2 + (-k-3)xy + (k+1)y^2 = 0$$

根据齐次式的性质，直接令判别式 $\Delta \ge 0$：

$$\begin{aligned} \Delta &= (-k-3)^2 – 4(2k-1)(k+1) \ge 0 \end{aligned}$$

解此不等式可得：

$$k \in \left[ \frac{1-2\sqrt{23}}{7}, \frac{1+2\sqrt{23}}{7} \right]$$

注意： 这道题中没有关于 $x, y$ 的额外约束条件（如 $x+y=1$ 等）。如果存在约束条件，则应先消元，再使用例 1 的方法。

这样，我们就知道了二元齐次式的求最值方法。But，若原式不齐次，我们应如何处理？ 这里需要用到主元法。

例 4： 求 $\frac{x+3y}{x^2+3y^2+4}$ 的取值范围

【推导过程】：

首先令原式为 $k$，得到：

$$x+3y = k(x^2+3y^2+4)$$

展开并移项整理：

$$kx^2 + 3ky^2 – x – 3y + 4k = 0$$

（注：这与双十字相乘无关）。这个方程中有二次项、一次项，有常数项，无法直接使用齐次判别式。于是我们可以先将 $y$ 视为常数，将其视为关于 $x$ 的一元二次方程，即可使用判别式。

原方程化为主元 $x$ 的标准形式：

$$kx^2 – x + (3ky^2 – 3y + 4k) = 0$$

为了让该方程关于 $x$ 有实数解，必须满足判别式 $\Delta_1 \ge 0$：

$$\begin{aligned} \Delta_1 &= (-1)^2 – 4k(3ky^2 – 3y + 4k) \ge 0 \\ 1 – 12k^2y^2 + 12ky – 16k^2 &\ge 0 \end{aligned}$$

将该不等式整理为关于变量 $y$ 的二次不等式标准形式：

$$12k^2y^2 – 12ky + 16k^2 – 1 \le 0$$

这可以看作是一个关于 $y$ 的二次函数。因为二次项系数 $12k^2 \ge 0$（开口向上），为了让这个“小于等于 0”的不等式有解，只需让这个二次函数与横轴有交点即可。 即对应的一元二次方程 $12k^2y^2 – 12ky + 16k^2 – 1 = 0$ 必须有解。

对其再次使用判别式 $\Delta_2 \ge 0$：

$$\begin{aligned} \Delta_2 &= (-12k)^2 – 4(12k^2)(16k^2 – 1) \ge 0 \\ 144k^2 – 48k^2(16k^2 – 1) &\ge 0 \end{aligned}$$

当 $k \neq 0$ 时，两边同时约去 $48k^2$，得：

$$\begin{aligned} 3 – (16k^2 – 1) &\ge 0 \\ 4 – 16k^2 &\ge 0 \\ 16k^2 &\le 4 \\ k^2 &\le \frac{1}{4} \end{aligned}$$

解得：

$$-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$$

最后，检验 $k=0$ 的情况：当 $k=0$ 时，原式 $\frac{x+3y}{x^2+3y^2+4} = 0$，即 $x+3y=0$（例如取 $x=0, y=0$ 即可），显然是可以取到的。

故原式的取值范围为 $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$。

理解了上面的内容，我们可以发现，设k后都可以得到关于x的含参二次方程，就可以使用判别式了，可是，如果遇到了最后得到的是高次方程，又应该如何处理？

例 5： 已知 正数x，y满足：$\frac{1}{x} + \frac{8}{y} = 1$，求 $x^2 + y^2$ 的最小值。

【推导过程】：

由 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} = 1$，化简得：

$$y = \frac{8x}{x-1}$$

令 $k = x^2 + y^2$，代入整理得：

$$x^4 – 2x^3 + (65 – k)x^2 + 2kx – k = 0$$

设左侧为 $P(x)$。为了让 $k$ 取得极值，那么该多项式方程必存在重根。故 $P'(x) = 0$且$P(x) = 0$：

$$4x^3 – 6x^2 + 2(65 – k)x + 2k = 0$$

解出 $k = \frac{2x^3 – 3x^2 + 65x}{x – 1}$，将其代回原方程，合并同类项得：

$$x^4 – 3x^3 + 3x^2 – 65x = 0$$

约去 $x$ 可得：

$$(x-1)^3 = 64$$

解得 $x=5$。此时最小值 $k$ 为：

$$k = 125$$

但是如果这样，还不如直接求导：

由 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} = 1$，化简得：

$$y = \frac{8x}{x-1}$$

将其代入，得：

$$F(x) = x^2 + \left(\frac{8x}{x-1}\right)^2 = 0$$

$$F'(x) = 2x – \frac{128x}{(x-1)^3} = 0$$

这样求导比通分移项后求导简单很多，需要注意

故：

$$1 – \frac{64}{(x-1)^3} = 0$$

解得：

$$x = 5$$

最终代入，求得最小值为125：

故$x^2 + y^2$ 的最小值为 $125$。

这样我们就可以知道，万能k法本质并不只是方程有解，比如对于奇次方程必定有解，我们要看的只是它有重根而已，这样是有局限性的，因为也许重根时k有多个，又或是解得的x不在范围内，是无法在解答题中使用的。

其实，对于任意次方程，都有判别式。

对于三次方程：

$$\Delta = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2$$

$\Delta = 0$时有重根

而对于四次方程：

$$\Delta = 256a^3e^3 – 192a^2bde^2 – 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e – 27a^2d^4 + 144ab^2ce^2 – 6ab^2d^2e – 80abc^2de + 18abcd^3 + 16ac^4e – 4ac^3d^2 – 27b^4e^2 + 18b^3cde – 4b^3d^3 – 4b^2c^3e + b^2c^2d^2$$

可以看出，这是没有应用价值的，高次更是这样

三次判别式我也从未发现题目中的实际意义，了解即可。