ln之美

这个网站的域名是www.ln.cn，那么，ln有什么特点呢

我们都知道，$(x^m)’ = m x^{m-1}$。积分易得：

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

可以发现， $n = -1$ 时，分母为 $0$，这让我们想到，什么函数的导数，恰好是$\frac{1}{x}$ 呢？

我们又知道推导$f(x) = \log_a x$ 的导数的过程：

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_a(x+h) – \log_a x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log_a \left( 1 + \frac{h}{x} \right)$$

令 $u = \frac{h}{x}$，当 $h \to 0$ 时 $u \to 0$：

$$f'(x) = \frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \log_a \left[ (1 + u)^{\frac{1}{u}} \right] = \frac{1}{x} \log_a \left[ \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} \right]$$

为了让导数结果系数为0，那么$\log_a [ \dots ] = 1$。这可以得出 $a$ 的取值：

$$e = \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \approx 2.71828$$

故 $\ln x$， 求导恰好是$\frac{1}{x}$：

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

这是它最奇妙的性质，那么$\ln$还有什么其他美妙之处呢？

我们再来看看著名的调和级数：

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

大家都知道它是发散的，且发散得非常慢这与 $\ln n$有很大关系。

数形结合： $y = \frac{1}{t}$ 上，区间 $[k, k+1]$。，曲线下方的面积在两个矩形面积之间：

$$\frac{1}{k+1} < \int_k^{k+1} \frac{1}{t} \, dt < \frac{1}{k}$$

求和可得：

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < \int_1^n \frac{1}{t} \, dt = \ln n < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n-1}$$

故：

$$\ln n < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < \ln n + 1$$

既然我们可以放缩，那么必定有误差，它们的差值是什么呢？

$$\gamma_n = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \right) – \ln n$$

容易验证，$\gamma_n$ 单调递减，且恒为正。

那么会收敛到0吗，以我的能力无法解释并证明，不过，伟大的欧拉告诉我们：

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} – \ln n \right) = \gamma \approx 0.5772$$

这个极限就是著名的欧拉常数 $\gamma$。

除此之外，$\ln$ 和素数的分布也有很大关系。

我能力有限，这里放一个链接，可自行欣赏
https://zhuanlan.zhihu.com/p/114662915