运动学中a与x成正比

质点做直线运动，加速度与位移满足 $a = kx$（$k$ 为常数）。初始位移为 $x_0$，初速度为 $v_0$。 求$x(t)$关系式。

这是今天物理课上的问题，可以通过解微分方程来解决，这里提供比较通俗易懂的方法

我们知道

$$a(t) = x”(t)$$

$$\Downarrow$$

$$x”(t) = k \cdot x(t)$$

根据基本导数知识，不难发现

$$[e^{pt}]’ = p e^{pt} \implies [e^{pt}]” = p^2 e^{pt}$$

$$[\sin(\omega t)]’ = \omega \cos(\omega t) \implies [\sin(\omega t)]” = -\omega^2 \sin(\omega t)$$

$$[\cos(\omega t)]’ = -\omega \sin(\omega t) \implies [\cos(\omega t)]” = -\omega^2 \cos(\omega t)$$

这样都是正比关系，想到使用待定系数法

$$(1) \ k > 0$$

$$x(t) = Ae^{pt}$$

$$x”(t) =Ap^2 e^{pt}$$

$$Ap^2 e^{pt} = Ak e^{pt} \implies p^2 = k \implies p = \pm \sqrt{k}$$

$$x(t) = C_1 e^{\sqrt{k}t} + C_2 e^{-\sqrt{k}t}$$（）

其中，由：

$$x'(t) = C_1 \sqrt{k} e^{\sqrt{k}t} – C_2 \sqrt{k} e^{-\sqrt{k}t}$$

$$\begin{aligned} x(0) &= C_1 + C_2 = x_0 \\ x'(0) &= C_1 \sqrt{k} – C_2 \sqrt{k} = v_0 \end{aligned}$$

$$\Downarrow$$

得：

$$\begin{aligned} C_1 &= \frac{x_0 \sqrt{k} + v_0}{2\sqrt{k}} \\ C_2 &= \frac{x_0 \sqrt{k} – v_0}{2\sqrt{k}} \end{aligned}$$

$$(2) \ k < 0$$

$$k = -\omega^2 \quad (\omega > 0)$$

$$x”(t) = -\omega^2 \cdot x(t)$$

$$x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$$

$$\begin{aligned} x(0) &= C_2 = x_0 \\ x'(0) &= C_1 \omega = v_0 \end{aligned}$$

$$\Downarrow$$

$$\begin{aligned} C_1 &= \frac{v_0}{\omega} \\ C_2 &= x_0 \end{aligned}$$

$$(3) \ k = 0$$

$$x(t) = v_0 t + x_0$$

最终答案汇总：

当 $k > 0$ 时

$$x(t) = \left(\frac{x_0\sqrt{k} + v_0}{2\sqrt{k}}\right)e^{\sqrt{k}t} + \left(\frac{x_0\sqrt{k} – v_0}{2\sqrt{k}}\right)e^{-\sqrt{k}t}$$

当 $k < 0$ 时

$$x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{-k}}\sin(\sqrt{-k}t) + x_0\cos(\sqrt{-k}t)$$

当 $k = 0$ 时

$$x(t) = v_0 t + x_0$$